Funktionsname |
Funktion (Berechnung aus hypergeometrischer Funktion) |
Umkehrfunktion (inverse Function) |
| Sinus |
sin(x)=x*hyg0F1(3/2, -x²/4) Berechnungsbeispiel |
asin(x)=atan(x/sqrt(1-x²))=x*hyg2F1(1/2,1/2,3/2,x²) |
| Kosinus |
cos(x)=hyg0F1(1/2, -x²/4) online nachrechnen |
acos(x)=PI/2-asin(x)=PI/2-x*hyg2F1(1/2,1/2,3/2,x²) |
| Sinus Hyperbolicus |
sinh(x) = (exp(x)-exp(-x))/2=x*hyg0F1(3/2,x²/4) |
asinh(x)= log(x+sqrt(x²+1))=x*hyg2F1(1/2,1/2,3/2,-x²) |
| Tangens |
tan(x) = sin(x)/cos(x)=x*hyg0F1(3/2, -x²/4)/hyg0F1(1/2,-x²/4)=8x*hyg3F2[1,1/2-x/Pi,1/2+x/Pi,3/2-x/Pi,3/2+x/Pi,1]/(Pi²-4x²) |
atan(x)=(x<1)? x*hyg2F1(1,1/2,3/2,-x²)else PI/2-hyg2F1(1/2,1,3/2,-1/x²)/x; Berechnungsbeispiel |
| Tangens Hyperbolicus |
tanh(x) = (exp(2x)-1)/(exp(2x)+1) |
atanh(x)= log((1+x)/(1-x))/2 |
| Kotangens |
cot(x) = 1/tan(x) |
acot(x)= PI/2-atan(x) |
| Exponentialfunktion |
exp(x) Iterationsrechner Beispiel 11 |
log(x) Iterationsrechner Beispiel 12 |
| Exponentialfunktion mal x |
exp(x)*x |
LambertW(x)=ProductLog(x) Iterationsrechner mit Unteriteration |
| Potenz- & Wurzelfunktionen |
pow(x,y)=x^y=exp(y*log(x))=hyg2F1(-y,1/1000,1/1000,1-x) |
pow(x,1/y)= y. Wurzel von x auch iterativ berechenbar siehe Beispiel 15 |
| Realteil einer komplexen Potenz :-) |
Re((x+y*i)^z) = (x²+y²)^(z/2)*cos(z*atan(y/x)); z.B. Re(sqrt(2+3i))=1.674... x=2;y=3;z=0.5 |
| Imaginärteil einer komplexen Potenz |
Im((x+y*i)^z) = (x²+y²)^(z/2)*sin(z*atan(y/x)) |
| Fakultät |
x!=Fak(x)=Gamma(x+1) |
aFak(x) siehe Regula falsi & Beispiel 35 |
| Doppelfakultät (Double Factorial) |
x!!=DblFak(x)=2^(1/4+x/2-cos(PI*x)/4)*PI^(cos(PI*x)/4-1/4)*Gamma(x/2+1) |
aDblFak(x):=y-(4(y!!-x))/(y!!(2Digamma(y/2+1)+pi*log(2/pi)*sin(pi*y)+log(4))) |
| Subfakultät (Subfactorial=Derangement) |
!x=SubFak(x)=Gamma(x+1,-1)/e |
aSubFak(x)... in Arbeit |
| Gammafunktion |
Gamma(x)=(x-1)! |
aGamma(x)=aFak(x)+1 |
| Digammafunktion=Psi-Funktion |
Digamma(x)=(x-1)*hyg3F2(1,1,2-x,2,2,1)-[A001620] siehe DigammaFunction |
aDigamma(x) siehe Regula falsi & Beispiel 35 |
| Harmonische Zahl (HarmonicNumber) |
HarmonZahl(x)=Digamma(x+1)+[A001620] siehe Harmonische Reihe |
aHarmonZahl(x) ... in Arbeit... |
| Integralexponentialfunktion |
Ei(x) siehe Integralexponentialfunktion |
aEi(x):=y-(Ei(y)-x)*y/exp(y); nach Newton und Simpson |
| Gaußsche Fehlerfunktion |
erf(x) siehe Beispiele 41 bis 43 |
aerf(x) online per Iterationsrechner berechnen |
| imaginäre Fehlerfunktion |
erfi(x) = 2*x*hyg1F1(1/2, 3/2, x²)/Sqrt(Pi) siehe auch wolfram Erfi |
aerfi(x) in Arbeit... |
| Dawson`s Integral |
Dawson(x) = erfi(x)*Sqrt(Pi)*exp(-x²)/2 siehe DawsonsIntegral |
aDawson(x) in Arbeit... |
| Gudermannfunktion |
Gudermann(x) siehe Iterationsrechner Beispiel 39 |
aGudermann(x) siehe Iterationsrechner Beispiel 40 |
| vollständige elliptische Integral 1. Art |
EllipticK(x)= PI*hyg2F1(1/2,1/2,1,x)/2 = PI/2/agm(1,sqrt(1-x)) |
...in Arbeit... |
| vollständige elliptische Integral 1. Art |
EllipticF(x,y)=(h=x*hyg0F1(3/2,-x²/4))*AppellF1(1/2,1/2,1/2,3/2,h²,y*h²) |
... |
| vollständige elliptische Integral 2. Art |
EllipticE(x)=PI*hyg2F1(-1/2,1/2,1,x)/2 siehe Elliptische Integrale |
...in Arbeit... |
| vollständige elliptische Integral 2. Art |
EllipticE2(x,y)=(h=x*hyg0F1(3/2,-x²/4))*AppellF1(1/2,1/2,-1/2,3/2,h²,y*h²) |
... |
| Stieltjes-Konstanten |
siehe Stieltjes-Konstanten und Stieltjes Constants |
...in Arbeit... |
| Riemannsche Zeta-Funktion |
siehe Riemannsche Zeta-Funktion und RiemannZetaFunction |
...in Arbeit... |
| Fibonacci-Funktion |
Fibonacci(x) siehe Iterationsrechner Beispiel 8 |
aFibonacci(x) siehe Iterationsrechner Beispiel 96 |
| Fibonacci Polynome (Polynomial) |
FibonacciPoly(x,y)=(((y+sqrt(4+y²))/2)^x-(2/(y+sqrt(4+y²)))^x *cos(x*PI))/sqrt(4+y²) siehe wolfram hyper2F1 |
| Arithmetisch-geometrisches Mittel |
agm(x,y)=(x+y)/2/hyg2F1(1/2,1/2,1,((y-x)/(x+y))²) siehe Iterationsrechner Beispiel 1 |
| Kubische Analogie von AGM |
agm3(x,y) siehe Iterationsrechner |
| AGM mit Wichtung |
agmW3(x,y,z) siehe Iterationsrechner a=x;b=y;d=Wichtung |
| Quadratische Iteration |
agm4(x,y) siehe Quadratic Iteration Iterationsrechner berechnen |
| Caveat Emptor |
agmCaveat(x,y) siehe Caveat Emptor Iterationsrechner berechnen |
| Hölder-Mittel (generalized mean) |
HoelderMW(x,y,z) siehe Mittelwerte z=-1=harm. z=0=geom. z=1=arithm. z=2=quadratischer Mittelwert; z>0 beliebig reell |
| Bessel-Funktionen 1. Gattung |
BesselJ(x,y)=(y/2)^x*hyg0F1(x+1,-y²/4)/Gamma(x+1) siehe BesselJ Diagramm und BesselFunctionoftheFirstKind |
| Bessel-Funktionen 2. Gattung |
BesselY(x,y) siehe BesselFunctionoftheSecondKind |
| modifizierte Bessel-Funktionen 1. Gattung |
BesselI(x,y) siehe ModifiedBesselFunctionoftheFirstKind |
| modifizierte Bessel-Funktionen 2. Gattung |
BesselK(x,y) siehe x<>Int(x) und x==Int(x) per 3 hypergeometrischer Funktionen!! |
| Bruchannäherung |
GetBruchNenner(x,y=NennerMax) genauer als Approximation von Dezimalbrüchen durch echte Brüche |
| unvollständige Gammafunktion der oberen Grenze |
Gamma1(x,y)=γ(x,y)=Gamma(x)-Gamma2(x,y) siehe lower incomplete gamma function |
| unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze |
Gamma2(x,y)=Γ(x,y) siehe Incomplete Gamma Function |
| Binomialkoeffizient |
binom(x,y)=x!/y!/(x-y)! siehe Binomialkoeffizient z.B. binom(Pi,e)=1.903568... |
| exklusives ODER ( Kontravalenz ) |
x XOR y Beispiel: [A086202]=1/PI XOR 1/(2PI)=0.4756... PlouffesConstants |
wenn x XOR y = Erg, dann -> x= y XOR Erg und y= x XOR Erg |
| Pochhammer Symbol |
pochhammer(x,y)=Gamma(x+y)/Gamma(x) siehe PochhammerSymbol |
| hypergeometrische Funktion mit 2 Parametern |
hyg0F1(x,y) siehe Hypergeometrische Funktion und Hypergeometric0F1 |
| hypergeometrische Funktion mit 3 Parametern |
hyg1F1(x,y,z) siehe Hypergeometrische Funktion und Hypergeometric1F1 |
| hypergeometrische Funktion mit 4 Parametern |
hyg2F1(x,y,z,h) siehe Iterationsrechner Beispiel 70 und Hypergeometric2F1 |
| Appell hypergeometrische Funktion F1 mit 6 Parametern |
AppellF1(x,y,z,h,M,N)=F111_100 siehe Wolfram AppellF1 |
| Appell hypergeometrische Funktion F2 mit 7 Parametern |
AppellF2(x,y,z,h,M,N1;N2)=F111_011 siehe Wiki Appell series |
| Appell hypergeometrische Funktion F3 mit 7 Parametern |
AppellF3(x,y,z,h,M,N1;N2)=F022_100(x,z,y,h,M,N1;N2) siehe Wiki Appell series |
| Appell hypergeometrische Funktion F4 mit 6 Parametern |
AppellF4(x,y,z,h,M,N)=F200_011 siehe Wiki Appell series |
| KAMPÉ DE FÉRIET doppelt hypergeometrische Funktion (generalized Double Hypergeometric Series) |
F012_201(x,y,z,h,M,N1;N2;N3) siehe KAMPÉ DE FÉRIET |
| KAMPÉ DE FÉRIET doppelt hypergeometrische Funktion (generalized Double Hypergeometric Series) |
F020_100(x,y,z,h,M) siehe KAMPÉ DE FÉRIET |
| KAMPÉ DE FÉRIET doppelt hypergeometrische Funktion (generalized Double Hypergeometric Series) |
F021_101(x,y,z,h,M,N1;N2) siehe KAMPÉ DE FÉRIET |
| ErdelyiG G-Funktion (Erdélyi G-function) |
ErdelyiG(x)=hyg2F1(1,x,x+1,-1)*2/x=Digamma(x/2+1/2)-Digamma(x/2) siehe mathworld G-Funktion
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| Barnessche G-Funktion (Barnes G-function) |
BarnesG(x) siehe Barnessche G-Funktion
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| Polylogarithmus (Jonquière´s Polylogarithm) |
PolyLog(x,y)=Li(x,y)=Sum[y^k/k^x]; {1<=k<Inf} siehe Polylogarithmus ;
Dirichletsche Eta(x)=η(x)= -Li(x,y= -1)
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| Eulersche Betafunktion (Beta function) |
Beta(x,y)=Gamma(x)*Gamma(y)/Gamma(x+y) siehe Eulersche_Betafunktion |
