Wissenschaftlicher Online Rechner mit >200 Funktionen (Umkehrfunktion; spezielle Funktionen für reelle und komplexe Zahlen)

(Online Scientific high precision calculator with inverse function - special functions for real and complex numbers; PHP ohne JAVA); vergl. Iterationsrechner und Plotter

x=

y=

z=

h=

M=

N=

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       ° statt rad

Hinweis: die 3 letzten Stellen sind noch nicht immer exakt. Auch Brüche wie 1/3 und 1.23e-9 erlaubt. Komplexe Zahlen (2-3.3i) bei *, /, pow, exp, log, sin bis pow, agm usw.
© Gerd Lamprecht 2011; Beispiele: 5. Berechnung von Pi mit speziellen Funktionen  sin(x) Wurzelschreibweise (Exact Trigonometric Const.) Nullstellen Rechner


Funktionsname

Funktion (Berechnung aus hypergeometrischer Funktion)

Umkehrfunktion (inverse Function)

Sinus sin(x)=x*hyg0F1(3/2, -x²/4) Berechnungsbeispiel asin(x)=atan(x/sqrt(1-x²))=x*hyg2F1(1/2,1/2,3/2,x²)
Kosinus cos(x)=hyg0F1(1/2, -x²/4) online nachrechnen acos(x)=PI/2-asin(x)=PI/2-x*hyg2F1(1/2,1/2,3/2,x²)
Sinus Hyperbolicus sinh(x) = (exp(x)-exp(-x))/2=x*hyg0F1(3/2,x²/4) asinh(x)= log(x+sqrt(x²+1))=x*hyg2F1(1/2,1/2,3/2,-x²)
Tangens tan(x) = sin(x)/cos(x)=x*hyg0F1(3/2, -x²/4)/hyg0F1(1/2,-x²/4)=8x*hyg3F2[1,1/2-x/Pi,1/2+x/Pi,3/2-x/Pi,3/2+x/Pi,1]/(Pi²-4x²) atan(x)=(x<1)? x*hyg2F1(1,1/2,3/2,-x²)else PI/2-hyg2F1(1/2,1,3/2,-1/x²)/x; Berechnungsbeispiel
Tangens Hyperbolicus tanh(x) =(exp(2x)-1)/(exp(2x)+1)=8x*hyg3F2[1,1/2-x*i/Pi,1/2+x*i/Pi,3/2-x*i/Pi,3/2+x*i/Pi,1]/(Pi²+4x²) atanh(x)= log((1+x)/(1-x))/2=x*hyg2F1[1,1/2,3/2,x²]
Kotangens cot(x) = 1/tan(x) = 2*hyg3F2[1,-x/Pi,x/Pi,1-x/Pi,1+x/Pi,1]/x-1/x acot(x)= PI/2-atan(x)=hyg2F1[1,1/2,3/2,-1/x²]/x
Exponentialfunktion exp(x) Iterationsrechner Beispiel 11 log(x) Iterationsrechner Beispiel 12
Exponentialfunktion mal x exp(x)*x = x*hyg1F1(1,1,x) LambertW(x)=ProductLog(x) Iterationsrechner mit Unteriteration
Potenz- & Wurzelfunktionen pow(x,y)=x^y=exp(y*log(x))=hyg2F1(-y,1/1000,1/1000,1-x) pow(x,1/y)= y. Wurzel von x auch iterativ berechenbar siehe Beispiel 15
Realteil einer komplexen Potenz :-) Re((x+y*i)^z) = (x²+y²)^(z/2)*cos(z*atan(y/x)); z.B. Re(sqrt(2+3i))=1.674... x=2;y=3;z=0.5
Imaginärteil einer komplexen Potenz Im((x+y*i)^z) = (x²+y²)^(z/2)*sin(z*atan(y/x))
Fakultät x!=Fak(x)=Gamma(x+1) aFak(x) siehe Regula falsi & Beispiel 35
Doppelfakultät (Double Factorial) x!!=DblFak(x)=2^(1/4+x/2-cos(PI*x)/4)*PI^(cos(PI*x)/4-1/4)*Gamma(x/2+1) aDblFak(x):=y-(4(y!!-x))/(y!!(2Digamma(y/2+1)+pi*log(2/pi)*sin(pi*y)+log(4)))
Subfakultät (Subfactorial=Derangement) !x=SubFak(x)=Gamma(x+1,-1)/e aSubFak(x)... in Arbeit
Gammafunktion Gamma(x)=(x-1)! aGamma(x)=aFak(x)+1
Digammafunktion=Psi-Funktion Digamma(x)=(x-1)*hyg3F2(1,1,2-x,2,2,1)-[A001620] siehe DigammaFunction aDigamma(x) siehe Regula falsi & Beispiel 35
Harmonische Zahl (HarmonicNumber) HarmonZahl(x)=Digamma(x+1)+[A001620] siehe Harmonische Reihe aHarmonZahl(x) ... in Arbeit...
Integralexponentialfunktion Ei(x) siehe Integralexponentialfunktion aEi(x):=y-(Ei(y)-x)*y/exp(y); nach Newton und Simpson
Gaußsche Fehlerfunktion erf(x) siehe Beispiele 41 bis 43 aerf(x) online per Iterationsrechner berechnen
imaginäre Fehlerfunktion erfi(x) = 2*x*hyg1F1(1/2, 3/2, x²)/Sqrt(Pi) siehe auch wolfram Erfi aerfi(x) in Arbeit...
Dawson`s Integral Dawson(x) = erfi(x)*Sqrt(Pi)*exp(-x²)/2 siehe DawsonsIntegral aDawson(x) in Arbeit...
Gudermannfunktion Gudermann(x) siehe Iterationsrechner Beispiel 39 aGudermann(x) siehe Iterationsrechner Beispiel 40
vollständige elliptische Integral 1. Art EllipticK(x)= PI*hyg2F1(1/2,1/2,1,x)/2 = PI/2/agm(1,sqrt(1-x)) ...in Arbeit...
vollständige elliptische Integral 1. Art EllipticF(x,y)=(h=x*hyg0F1(3/2,-x²/4))*AppellF1(1/2,1/2,1/2,3/2,h²,y*h²) ...
vollständige elliptische Integral 2. Art EllipticE(x)=PI*hyg2F1(-1/2,1/2,1,x)/2 siehe Elliptische Integrale ...in Arbeit...
vollständige elliptische Integral 2. Art EllipticE2(x,y)=(h=x*hyg0F1(3/2,-x²/4))*AppellF1(1/2,1/2,-1/2,3/2,h²,y*h²) ...
Stieltjes-Konstanten siehe Stieltjes-Konstanten und Stieltjes Constants ...in Arbeit...
Riemannsche Zeta-Funktion siehe Riemannsche Zeta-Funktion und RiemannZetaFunction ...in Arbeit...
Fibonacci-Funktion Fibonacci(x) siehe Iterationsrechner Beispiel 8 aFibonacci(x) siehe Iterationsrechner Beispiel 96
Fibonacci Polynome (Polynomial) FibonacciPoly(x,y)=(((y+sqrt(4+y²))/2)^x-(2/(y+sqrt(4+y²)))^x *cos(x*PI))/sqrt(4+y²) siehe wolfram hyper2F1
Arithmetisch-geometrisches Mittel agm(x,y)=(x+y)/2/hyg2F1(1/2,1/2,1,((y-x)/(x+y))²) siehe Iterationsrechner Beispiel 1
Kubische Analogie von AGM agm3(x,y) siehe Iterationsrechner
AGM mit Wichtung agmW3(x,y,z) siehe Iterationsrechner a=x;b=y;d=Wichtung
Quadratische Iteration agm4(x,y) siehe Quadratic Iteration Iterationsrechner berechnen
Caveat Emptor agmCaveat(x,y) siehe Caveat Emptor Iterationsrechner berechnen
Hölder-Mittel (generalized mean) HoelderMW(x,y,z) siehe Mittelwerte z=-1=harm. z=0=geom. z=1=arithm. z=2=quadratischer Mittelwert; z>0 beliebig reell
Bessel-Funktionen 1. Gattung BesselJ(x,y)=(y/2)^x*hyg0F1(x+1,-y²/4)/Gamma(x+1) siehe BesselJ Diagramm und BesselFunctionoftheFirstKind
Bessel-Funktionen 2. Gattung BesselY(x,y) siehe BesselFunctionoftheSecondKind
modifizierte Bessel-Funktionen 1. Gattung BesselI(x,y) siehe ModifiedBesselFunctionoftheFirstKind
modifizierte Bessel-Funktionen 2. Gattung BesselK(x,y) siehe x<>Int(x) und x==Int(x) per 3 hypergeometrischer Funktionen!!
Bruchannäherung GetBruchNenner(x,y=NennerMax) genauer als Approximation von Dezimalbrüchen durch echte Brüche
unvollständige Gammafunktion der oberen Grenze Gamma1(x,y)=γ(x,y)=Gamma(x)-Gamma2(x,y) siehe lower incomplete gamma function
unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze Gamma2(x,y)=Γ(x,y) siehe Incomplete Gamma Function
Binomialkoeffizient binom(x,y)=x!/y!/(x-y)! siehe Binomialkoeffizient z.B. binom(Pi,e)=1.903568...
exklusives ODER ( Kontravalenz ) x XOR y Beispiel: [A086202]=1/PI XOR 1/(2PI)=0.4756... PlouffesConstants wenn x XOR y = Erg, dann -> x= y XOR Erg und y= x XOR Erg
Pochhammer Symbol pochhammer(x,y)=Gamma(x+y)/Gamma(x) siehe PochhammerSymbol
hypergeometrische Funktion mit 2 Parametern hyg0F1(x,y) siehe Hypergeometrische Funktion und Hypergeometric0F1
hypergeometrische Funktion mit 3 Parametern hyg1F1(x,y,z) siehe Hypergeometrische Funktion und Hypergeometric1F1
hypergeometrische Funktion mit 4 Parametern hyg2F1(x,y,z,h) siehe Iterationsrechner Beispiel 70 und Hypergeometric2F1
Appell hypergeometrische Funktion F1 mit 6 Parametern AppellF1(x,y,z,h,M,N)=F111_100 siehe Wolfram AppellF1
Appell hypergeometrische Funktion F2 mit 7 Parametern AppellF2(x,y,z,h,M,N1;N2)=F111_011 siehe Wiki Appell series
Appell hypergeometrische Funktion F3 mit 7 Parametern AppellF3(x,y,z,h,M,N1;N2)=F022_100(x,z,y,h,M,N1;N2) siehe Wiki Appell series
Appell hypergeometrische Funktion F4 mit 6 Parametern AppellF4(x,y,z,h,M,N)=F200_011 siehe Wiki Appell series
KAMPÉ DE FÉRIET doppelt hypergeometrische Funktion (generalized Double Hypergeometric Series) F012_201(x,y,z,h,M,N1;N2;N3) siehe KAMPÉ DE FÉRIET
KAMPÉ DE FÉRIET doppelt hypergeometrische Funktion (generalized Double Hypergeometric Series) F020_100(x,y,z,h,M) siehe KAMPÉ DE FÉRIET
KAMPÉ DE FÉRIET doppelt hypergeometrische Funktion (generalized Double Hypergeometric Series) F021_101(x,y,z,h,M,N1;N2) siehe KAMPÉ DE FÉRIET
ErdelyiG G-Funktion (Erdélyi G-function) ErdelyiG(x)=hyg2F1(1,x,x+1,-1)*2/x=Digamma(x/2+1/2)-Digamma(x/2) siehe mathworld G-Funktion
Barnessche G-Funktion (Barnes G-function) BarnesG(x) siehe Barnessche G-Funktion
Polylogarithmus (Jonquière´s Polylogarithm) PolyLog(x,y)=Li(x,y)=Sum[y^k/k^x]; {1<=k<Inf} siehe Polylogarithmus ; Dirichletsche Eta(x)=η(x)= -Li(x,y= -1)
Eulersche Betafunktion (Beta function) Beta(x,y)=Gamma(x)*Gamma(y)/Gamma(x+y) siehe Eulersche_Betafunktion


Wolframs Liste von 328 Funktionen
Hierarchie vieler Funktionen von mathworld